Question

已知实数函数（为自然对数的底数）．

（Ⅰ)求函数的单调区间及最小值；

（Ⅱ）若≥对任意的恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）证明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为，；（Ⅱ）； （Ⅲ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，由得出函数单调递减区间为，单调递增区间为，从而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，从 而由放缩和裂项求和可得：

.

试题解析：（I）当，

由， 得单调增区间为；

由，得单调减区间为 ，                       2分

由上可知                           4分

（II）若对恒成立，即，

由（I）知问题可转化为对恒成立 ．       6分

令 ，   ，

在上单调递增，在上单调递减，

∴．

即 ， ∴ ．                   8分

由图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1．   9分

（III）证明：由（II）知，   则在上恒成立．

又，                       11分

                        12分

．14分

考点：1.利用导数数求函数的单调性；2.利用导数处理不等式的恒成立问题；3.放缩法证明不等式