Question

如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点.

(1)求证:；
(2)求证:是的切线；
(3)若,且的半径长为,求和的长度.

Answer 1

（1）根据三角形的相似来证明，
（2）要证明直线是圆的切线，只要证明圆心与切点的连线与直线垂直即可。
（3），

解析试题分析：．(1)证明：是的直径，是的切线，
．又，．
易证，．
．．
是的中点，．．
(2)证明：连结．是的直径，．
在中，由（1），知是斜边的中点，
．．又，．
是的切线，．
，是的切线．
(3)解：过点作于点．，．
由(1)，知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，四边形是矩形，．
，易证．，即．
的半径长为，．．
解得．．，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（负值舍去）．．
［或取的中点，连结，则．易证