题目内容
18．
为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ．（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．
分析 （1）利用含有θ的代数式表示梯形ABCD的上下底面边长和高，代入梯形的面积公式求得ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
（2）对得到的面积关于θ的关系式求导，求出函数的极值点，也就是最大值点，则面积的最大值可求．
解答 解：（1）连接OB，根据对称性可得∠AOE=∠BOF=θ且OA=OB=1，∴AD=1-cosθ+sinθ，BC=1+cosθ+sinθ，AB=2cosθ，
∴$S=\frac{（AD+BC）•AB}{2}=2（1+sinθ）cosθ$，其中$0＜θ＜\frac{π}{2}$；
（2）记$f（θ）=2（1+sinθ）cosθ，0＜θ＜\frac{π}{2}$，
f′（θ）=2（cos2θ-sinθ-sin2θ）=$-2（2sinθ-1）（sinθ+1）（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
当$0＜θ＜\frac{π}{6}$时，f′（θ）＞0，当$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$时，f′（θ）＜0，
∴$f（θ）_{max}=f（\frac{π}{6}）=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$时，${S}_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查了简单的建模思想方法，考查了三角函数最值的求法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
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