Question

（本小题满分13分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆的方程为． （2）的最大值为11．

【解析】(1) 由题设知，，，由，得,从而得到关于a的方程，求出a值.

(2)设圆的圆心为，则 

            ,

从而把的最大值转化为求的最大值,再利用两点间的距离公式再借助P在椭圆上，可以把转化为关于P的横坐标x的函数问题来解决.

（1）由题设知，，，………………………1分

由，得．………………3分

解得．所以椭圆的方程为．…………………4分

（2）方法1：设圆的圆心为，

则 ……………………6分

            ……K…………………………7分

．………………………………………8分

从而求的最大值转化为求的最大值．………………………9分

因为是椭圆上的任意一点，设，……………………………10分

所以，即．…………………………11分

因为点，所以．……………12分

因为，所以当时，取得最大值12．……………13分

所以的最大值为11．……………………………14分

 

方法2：设点，

因为的中点坐标为，所以 …………………………6分

所以……………………7分

          

          

           ．……………………………9分

因为点在圆上，所以，即．…………10分

因为点在椭圆上，所以，即．………………11分

所以．……………………………12分

因为，所以当时，．…………………14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，……………6分

由，解得．………………………7分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．…………………8分

所以 ………9分

所以．

                              ………10分

因为，所以当时，取得最大值11．……………11分

②若直线的斜率不存在，此时的方程为，

由，解得或．

不妨设，，．……………………5u…………………12分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．

所以，．

所以．

因为，所以当时，取得最大值11．………13分

综上可知，的最大值为11．…………………………………14分