Question

等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：Tn＜

1

3

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴数列{

1

bn

}的前n项和
Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

11

++

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
＜

1

3