Question

已知函数f（x）=．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）在[0，+∞）上是减函数；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（-x）===f（x），知函数f（x）=是偶函数．
（2）利用定义法能够证明f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）由f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，知f（x）_max=f（0），由此能求出结果．
解答：解：（1）∵f（x）=，∴x∈R，
∵f（-x）===f（x），
∴函数f（x）=是偶函数．
（2）在[0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=-
=
=，
∵0≤x₁＜x₂．
∴＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）_max=f（0）=．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．