Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）＞0且f'（x）＜0，则a=f（1），b=f（10），c=f（100）的大小关系是

1. A.
   c＜a＜b
2. B.
   c＜b＜a
3. C.
   b＜c＜a
4. D.
   b＜a＜c

Answer 1

D
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f'（x）＜0，知y=f（x）在（0，1）上是减函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
解答：∵y=f（x）是偶函数，y=f（x+1）是奇函数
故有f（-x）=f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x-1）=-f（x+1），f（x-1）=f（x+3），由此可推断出=f（x）是周期为4的函数故
∴f（10）=f（2）=-f（1）＜0，f（100）=f（0）＞0，f（1）＞0
∵0≤x≤1，都有f（x）＞0且f'（x）＜0
∴函数f（x）在[0，1]单调递减
∴f（0）＞f（1）＞0＞-f（1）
即c＞a＞b
故选：D
点评：本题考点是函数奇偶性的运用，考查综合利用奇偶性来研究函数的性质，利用函数的单调性比较大小，在本题三数的大小比较中，利用到了把三数转化到一个单调区间上来比较的技巧．在利用单调性比较大小时注意这一转化技巧的运用．