Question

【题目】已知数列满足且，设，.

（1）求；

（2）求的通项公式；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），；（3）.

【解析】

（1）依次代入计算，可求得；

（2）归纳出，并用数学归纳法证明；

（3）用裂项相消法求和，然后求极限．

（1）∵且，

∴，即，，，

，，，

，，，

∴；

（2）由（1）归纳：，

下面用数学归纳法证明：

1°n=1，n=2时，由（1）知成立，

2°假设n=k（k>1）时，结论成立，即bk=2k2，

则n=k+1时，ak=bk-k=2k2-k，，

ak+1=(2k+1)(k+1)，

∴bk+1=ak+1+(k+1)=(2k+1)(k+1)+(k+1)=2(k+1)2，

∴n=k+1时结论成立，

∴对所有正整数n，bn=2n2．

（3）由（2）知n2时，，

∴

，

．