Question

已知点A是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足（n≥2）．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）若数列的前n项和为T_n，问满足T_n的最小整数是多少？
（3）若，求数列C_n的前n项和P_n．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）根据求出{a_n}的通项公式；根据求出的通项公式，进而求出S_n，b_n的通项公式．
（2）根据b_n的通项公式，通过列项相消的方法求出的前n项和为T_n进而解出n．
（3）先求出C_n的通项公式，然后利用错位相减法求出C_n的前n项和P_n．
解答：解：（1）∵点A是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点
∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c
∴当n≥2时，
∵{a_n}为等比数列
∴公比
∵
∴c=1，，（3分）
由题设可知数列b_n（b_n＞0）的首项为b₁=c=1（n≥2）
∴
∴
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
则=n，S_n=n² b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
当n=1时，b₁=1，也满足b_n=2n-1
数列{b_n }的通项公式．b_n=2n-1（6分）
（2）∵b_n=2n-1
∴
∴=
要使T_n，
则，即
∴满足T_n的最小整数为91（11分）
（3）∵，b_n=2n-1
∴=（2n-1）•3ⁿP_n=1•3+3•3²+5•3³++（2n-1）•3ⁿ①
3P_n=1•3²+3•3³+5•3⁴++（2n-1）•3ⁿ⁺¹..②
①-②得：-2P_n=3+2（3²+3³+3⁴+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴P_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．（16分）
点评：本题是数列与函数的综合题目，用到了列项相消，错位相减等一些数列的基本方法，综合性比较强，考查点比较全面．