Question

【题目】已知圆和直线

（1）求证:不论取什么值,直线和圆C总相交;

（2）求直线被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) , .

【解析】试题分析： 由直线的方程可得直线恒通过点，而点 在圆的内部，故得到不论取什么值,直线和圆C总相交；

设定点为，因为 ，求出直线的斜率，即可写出直线的方程，

求出圆心到直线距离，即可求出弦长。

解析：(1)证明:由直线的方程可得, ,则直线恒通过点

,把代入圆的方程,得,

所以点在圆的内部,又因为直线恒过点,

所以直线与圆总相交.

(2)设定点为，由题可知当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，

因为，所以直线的斜率为

所以直线的方程为，即

设圆心到直线距离为，则

所以直线被圆截得最短的弦长为.