Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）若E为PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（2）在BC上是否存在一点G，使得D到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
E（0，1，），P（0，0，1），
，，，
，
（1）∵cos==，
所求异面直线AE与PC所成角的余弦值为 …（6分）
（2）假设存在，设BG=x，则G（1，x，0），
作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，即DG=1，
∵2S_△ADG=S_ABCD，
∴，∴AG==2?x=，
故存在点G，当BG=时，D到平面PAG的距离为1．…．（12分）
分析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，推出A，B，C，D，E，P坐标
（1）利用cos=，求异面直线AE与PC所成角的余弦值．
（2）假设存在，设BG=x，则G（1，x，0），作DQ⊥AG，利用2S_△ADG=S_ABCD，求出x值，说明存在点G满足题意．
点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，计算能力．