Question

已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，知f′（x）=6x²+6ax+3b，再由f（x）在x=1及x=2处取得极值，能求出a、b的值．
（2）由（1）知f′（x）=6x²-18x+12，由f′（x）=6x²-18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；由f′（x）=6x²-18x+12＜0，得1＜x＜2．由此能求出f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵f（x）在x=1及x=2处取得极值，
∴

f′(1)=6+6a+3b=0 f′(2)=24+12a+3b=0

，
解得a=-3，b=4．
（2）∵a=-3，b=4，
∴f′（x）=6x²-18x+12，
由f′（x）=6x²-18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；
由f′（x）=6x²-18x+12＜0，得1＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）．

点评：本题考查函数的极值的应用，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．