Question

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是

 

．

Answer 1

分析：将已知直线为a（x+2）+（-x-y+1）=0，可得它恒过直线x+2=0与-x-y+1=0的交点P，联解直线方程得到P的坐标为（-2，3）．再设出所求抛物线的方程，代入点P的坐标求出焦参数p的值，可得过点P的抛物线的标准方程．

解答：解：∵直线（a-1）x-y+2a+1=0化为a（x+2）+（-x-y+1）=0，
∴直线一定经过x+2=0与-x-y+1=0的交点P，
联解

x+2=0 -x-y+1=0

，得

x=-2 y=3

，可得定点P坐标为（-2，3）．
又∵抛物线抛物线经过点P，∴抛物线的开口上或开口向左．
①当抛物线的开口左时，设其方程为y²=-2px（p＞0），
代入点P（-2，3），得3²=-2p×（-2），解之得2p=-

9

2

，得到p=

9

4

．
此时抛物线的方程为y²=-

9

2

x；
②当抛物线的开口上时，设其方程为x²=2py（p＞0），
代入点P（-2，3），得（-2）²=2p×3，解之得2p=

4

3

，得到p=

2

3

．
此时抛物线的方程为x²=

4

3

x．
综上所述，所求抛物线的方程为y²=-

9

2

x或x²=

4

3

y．
故答案为：y²=-

9

2

x或x²=

4

3

y

点评：本题给出动直线经过定点P，求经过P点的抛物线的标准方程．着重考查了直线的方程、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．