Question

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（　　）

• A、y²=-

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• B、y²=

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• C、y²=

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y
• D、y²=-

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y

Answer 1

分析：直线过定点，说明直线（a-1）x-y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．

解答：解：当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（-x-y+1）=0，
对于a为任意实数时，此式恒成立有

x+2=0 -x-y+1

=0得

x=-2 y=3

，依题意抛物线为 y²=-2px和x²=2py
当y²=-2px时得9=4p，所以p=

9

4

，此时抛物线方程为 y²=-

9

2

x；
当x²=2py时，4=6p，所以p=

2

3

，此时抛物线方程为 x²=

4

3

y．
则过点P的抛物线的标准方程是：y²=-

9

2

x 和x²=

4

3

y．
故选A．

点评：本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆．