Question

已知数列ξ中，a₁=0，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，由a₁=0，a_n+1=（n∈N^*）即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通过（1）可猜想a_n=（n=1，2，3，…）；下面用数学归纳法证明即可：先证当n=1时结论成立，再假设假设n=k时，结论成立，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．
解答：解：（1）a₂=，a₃==，同理可得a₄=…（3分）
（2）猜想a_n=（n=1，2，3，…）…（6分）
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即a_k=，
那么当n=k+1时，a_k+1====，
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，a_n=对一切自然数n都成立．…（13分）
点评：本题考查数列的递推式，考查归纳猜想，着重考查数学归纳法，考查推理与证明，属于难题．