Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其中AB=a，，AD=b，AA₁=c外接球球心为点O，外接球体积为

32π

3

，若

1

a2

+

4

b2

的最小值为

9

4

，则A，C两点的球面距离为

 

．

Answer 1

分析：考查球面距离的问题，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案．

解答：解：设A、B两点在该球面上的球面距离为d，
∵外接球体积为

32π

3

，∴R=2，
球的直径即为长方体的对角线长，
即2R=

a 2+b 2+c 2

=4，
若

1

a2

+

4

b2

的最小值为

9

4

，∴a²+b²=4，
在等腰三角形OAC中，OA=OC=AC
球心角∠AOC=

π

3

，
∴利用球面距离公式得出：d=α•R=

π

3

•2=

2π

3

故答案为：

2π

3

．

点评：本题主要考查球的性质、球内接多面体、球面距离及基本不等式，属于基础题．