题目内容

下列命题：
①|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|是
a
，
b
共线的充要条件；
②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足
OP
=2
OA
+3
OB
-4
OC
，则P，A，B，C四点共面；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确的命题的序号是
②③
②③
．
分析：①|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|可推得
a
，
b
共线，但
a
，
b
共线，不能推出|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|；②原命题可化为：
BP
=2
CA
+2
CB
，可得
BP
，
CA
，
CB
共面，进而可得四点共面；③可判其逆否命题正确．
解答：解：①|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|可推得
a
与
b
同向或反向，即
a
，
b
共线，
但
a
，
b
共线，若反向且长度相等，则不能推出|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|，故错误；
②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足
OP
=2
OA
+3
OB
-4
OC
，
则
OP
-
OB
=2
OA
-2
OC
+2
OB
-2
OC
，即
BP
=2
CA
+2
CB

故向量
BP
，
CA
，
CB
共面，即P，A，B，C四点共面，故正确；
③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，由原命题和逆否命题的关系可得
若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故正确
故答案为：②③
点评：本题考查充要条件的判断，涉及向量的知识的应用，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①|
a
-
b
|≤|
a
|-|
b
|；②
a
，
b
共线，
b
，
c
平，则
a
与
c
为平行向量；③
a
，
b
，
c
为相互不平行向量，则（
b
-
c
）
a
-（
c
-
a
）
b
与
c
垂直；④在△ABC中，若a2taanB=b2tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤
a
•
b
=
a
•
c
，则
a
⊥（
b
-
c
）   
其中错误的有
 
．
下列命题中a、b、l表示不同的直线，α表示平面，其中正确的命题有（　　）
①若a∥α，b∥α，则a∥b；　          
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a?α，b?α，且a、b不相交，则a∥b　
④若a?α，b?α，a∩b=A，l?α，且l与a、b均不相交，则l∥α
对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中假命题的个数是
2
2
．
（2013•滨州一模）定义平面向量的一种运算：
a
?
b
=|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，则下列命题：
①
a
?
b
=
b
?
a
；
②λ（
a
?
b
）=（λ
a
）?
b
；
③（
a
+
b
）?
c
=（
a
?
c
）+（
b
?
c
）；
④若
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则
a
?
b
=|x1y2-x2y1|．
其中真命题是
①②③④
①②③④
（写出所有真命题的序号）．
已知a，b表示不同的直线，α、β表示不同的平面，现有下列命题：①
a∥b
a∥α
⇒b∥α②
b∥α
a⊥α
⇒a⊥b
③
a⊥b
b∥α
⇒a⊥α④
α∥β
a∥α
⇒a∥β．其中真命题有（　　）

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