Question

已知椭圆的左右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F₁Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为，证明：
（2）若存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定椭圆的左准线方程，利用椭圆的定义，可得，从而可得结论；
（2）确定Q的轨迹方程，利用存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，确定Q的纵坐标，即可求椭圆离心率的取值范围．
解答：（1）证明：椭圆的左准线方程为
∵点P的横坐标为，
∴由椭圆的定义可知，，
∴；
（2）解：设Q（x，y），则
∵，∴（x+c）²+y²=4a²
∴|y|≤2a
∵存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，
∴
∴
∴
∴e²+2e-1≥0
∴或
∵0＜e＜1
∴．
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．