Question

9．已知在各项为正的等比数列{a_n}中，a₂与a₈的等比中项为8，则4a₃+a₇取最小值时首项a₁ 等于（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由等比数列的性质可得a₅=8，进而可得4a₃+a₇=$\frac{4{a}_{5}}{{q}^{2}}$+a₅q²=$\frac{32}{{q}^{2}}$+8q²≥2$\sqrt{\frac{32}{{q}^{2}}×8{q}^{2}}$=32，由等号成立的条件可得．

解答 解：由题意知a₂a₈=8²=${a}_{5}^{2}$，解得a₅=8，
设公比为q（q＞0），
∴4a₃+a₇=$\frac{4{a}_{5}}{{q}^{2}}$+a₅q²=$\frac{32}{{q}^{2}}$+8q²≥2$\sqrt{\frac{32}{{q}^{2}}×8{q}^{2}}$=32，
当且仅当$\frac{32}{{q}^{2}}$=8q²，即q²=2时取等号，
此时a₁=$\frac{{a}_{5}}{{q}^{4}}$=2．
故选：C

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及基本不等式求最值，属中档题．