Question

【题目】P为椭圆 + =1上一点，F1 ， F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°．
（1）求△F1PF2的面积；
（2）求P点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆 + =1可知焦点在x轴上，a=5，b=3，c= =4，

焦点坐标为：F1（﹣，4，0），F2（4，0），

设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a=10，

由余弦定理可知：m2+n2﹣2mncos60°=（2c）2，

∴（m+n）2﹣2mn﹣2mncos60°=2c2，即100﹣2mn﹣mn=64，

则mn=12，

△F1PF2的面积S，S= mnsin60°= ×12× =3 ，

∴△F1PF2的面积3 ；

（2）解：设P（x，y），由△F1PF2的面积S，S= ×2c×丨y丨=4丨y丨，

∴4丨y丨=3 ，

则丨y丨= ，y=± ，将y=± 带入椭圆方程解得x=± ，

∴这样的P点有四个，P点的坐标（ ， ），（﹣ ， ），

（ ，﹣ ），（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）由椭圆的方程求得焦点坐标，根据余弦定理求得丨PF1丨丨PF2丨，则由三角形面积公式可知：S= 丨PF1丨丨PF2丨sin60°，即可求得△F1PF2的面积；（2）由焦点三角形的面积公式可知：S= ×2c×丨y丨=4丨y丨，由（1）可知4丨y丨=3 ，即可求得y的值，代入椭圆方程，即可求得x的值，求得P点的坐标．