题目内容

函数f（x）=x-3sinx²在[0，+∞）上的零点个数是

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

C
分析：对f（x）求导数，得f'（x）=1-6xcosx²．通过特殊值代入，结合函数图象观察可得f（x）在（0，π）上共有5个单调区间．再用零点存在性质定理加以验证，可得函数f（x）在（0，π）上有4个零点，而在（π，+∞）上没有零点．结合f（0）=0可得f（x）在[0，+∞）上总共5个零点．
解答：∵函数解析式为f（x）=x-3sinx²，

∴f'（x）=1-3（cosx²）•2x=1-6xcosx²．
可得f'（0）=1＞0，f'（ $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ ＜0，f'（ $\text{[math]}$ ）=1＞0，
f'（ $\text{[math]}$ ）=1-6 $\text{[math]}$ ＜0，f'（ $\text{[math]}$ ）=1+6 $\text{[math]}$ ＞0，
因此，f'（x）在区间（0， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上分别有一个零点
将这些零点分别设为x₁、x₂、x₃、x₄，
可得函数f（x）=x-3sinx²在区间（0，x₁），（x₂，x₃），（x₄，π）上
是增函数；在区间（x₁，x₂），（x₃，x₄）上是减函数．
即f（x）在（0，π）上共有5个单调区间
∵f（0.1）＞0，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -3＜0，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0，
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -3＜0，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0
∴f（x）在（0.1， $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上各有一个零点
而f（0）=0，且x＞π时f（x）=x-3sinx²＞π-3＞0
∴f（x）在[0，π]上有5个零点，而在（π，+∞）上没有零点．因此函数f（x）在[0，+∞）上总共5个零点．
故选：C
点评：本题给出函数f（x）=x-3sinx²，求它在[0，+∞）上的零点个数．着重考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理等知识，属于中档题．