题目内容

（1）已知数列{a_n}的第1项 a₁=1，且a_n+1= $数学公式$ （ n=1，2，3…）使用归纳法归纳出这个数列的通项公式．（不需证明）
（2）用分析法证明：若a＞0，则 $数学公式$ - $数学公式$ ≥a+ $数学公式$ -2．

解：（1）由 a₁=1，且a_n+1= $\text{[math]}$ 可得，a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ ．
（2）证明：要证 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≥a+ $\text{[math]}$ -2，只需证 $\text{[math]}$ +2≥a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（ $\text{[math]}$ +2）²≥（a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²，
只需证a²+ $\text{[math]}$ +4+4 $\text{[math]}$ ≥a²+ $\text{[math]}$ +2+2 $\text{[math]}$ （a+ $\text{[math]}$ ），
只需证 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ （a+ $\text{[math]}$ ），只需证a²+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ （a²+ $\text{[math]}$ +2），
即证a²+ $\text{[math]}$ ≥2，它显然是成立，∴原不等式成立．
分析：（1）由 a₁=1，且a_n+1= $\text{[math]}$ 可求得数列的前若干项，根据每项的结构特征猜想通项公式．
（2）只需证 $\text{[math]}$ +2≥a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，只需证（ $\text{[math]}$ +2）²≥（a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²，
只需证 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ （a+ $\text{[math]}$ ），即证 a²+ $\text{[math]}$ ≥2，而它显然是成立．
点评：本题考查归纳推理，以及用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．