Question

【题目】设是定义在上的函数，如果存在点，对函数的图象上任意点，关于点的对称点也在函数的图象上，则称函数关于点对称，称为函数的一个对称点，对于定义在上的函数，可以证明点是图象的一个对称点的充要条件是，．

（1）求函数图象的一个对称点；

（2）函数的图象是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由；

（3）函数的图象是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）函数图象的一个对称点为；

（2）函数的图象无对称点．

（3）函数的图象有一个对称点．

【解析】

试题分析：（1）设为函数图象的一个对称点，由题意即对于恒成立，由可得函数图象的一个对称点；（2）假设是函数的图象的一个对称点，即对于恒成立，因为，所以不恒成立，即函数的图象无对称点．（3）假设是函数的图象的一个对称点，对于恒成立，所以

解之即可．

试题解析：（1）设为函数图象的一个对称点，则对于恒成立，即对于恒成立，

∴由，

故函数图象的一个对称点为．

（2）假设是函数的图象的一个对称点，

则对于恒成立，

即对于恒成立，因为，所以不恒成立，即函数的图象无对称点．

（3）假设是函数的图象的一个对称点，

则对于恒成立，

即对于恒成立，

所以

故函数的图象有一个对称点．

（其实，而函数是奇函数，其图象关于原点对称，故的图象关于对称）