题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
 
．
分析：可利用直线OA，OB方程与椭圆方程联立求A，B点坐标满足的一元方程，进而求出A，B的横纵坐标的平方，代入
1
|OA|2
+
1
|OB|2
化简即可．
解答：解：设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-
1
K
x
设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得 X12=
a2b2
b2+a2k2
，∴y12=
k2a2b2 
b2+a2k2
．
把y=-
1
k
x代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得   x22=
a2b2k2 
a2+b2k2
，∴y22=
a2 b2
a2+b2k2
．
∴
1
|OA|2
+
1
|OB| 2
=
1
x12+y12
+
1
x22+y22 
=
1
a2b2
b2+a2k2
+
k2a2b2
b2+a2k2
+
1
a2b2k2
a2+b2k2
+
a2b2
a2+b2k2
=
a2+b2
a2b2
．
当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
．
综上，
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
．
故答案为：
a2+b2
a2b2
．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质．解决本题的关键在于整理过程不能出错．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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