Question

设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为。

（1）求的值；     （2）求函数的最大值；      （3）证明：。

 

Answer 1

【答案】

（1）    （2）

（3）见解析

【解析】（1）因为，由点在上，可得

因为，所以

又因为切线的斜率为，所以，所以

（2）由（1）可知，

令，即在上有唯一的零点。

在上，，故单调递增；而在上，，单调递减，故在的最大值为。

（3）令，则

在上，，故单调递减，而在上，，单调递增，

故在上的最小值为，所以即，令，得，即所以，即由（2）知，，故所证不等式成立。

【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查