Question

如图四棱锥P—ABCD，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD成60°角，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.

(1)若PB中点为M，求证平面AMC⊥平面PBC；

(2)求异面直线PA与BC所成的角.

Answer 1

解法一：（1）∵PA=2AD=4,PA=AB=4,M为PB的中点，?

∴AM⊥PB，PD=2，PC==BC，?

∴CM⊥PB，AM∩CM=M，?

∴PB⊥面AMC，?

∴面AMC⊥面PBC.?

(2)过点A作AE平行于BC交CD的延长线于E点，连PE.AE=BC=，PA=4，PE=，

cos∠PAE==，所以异面直线PA与BC所成的角为arccos.

解法二：建立空间直角坐标系，以D点为原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DP所在直线为z轴.?

（1）M(1,2,),B(2,4,0),=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,-2),

∴·=0，·=0，

∴面AMC⊥面PBC.?

(2)=(2,0,-2),=(-2,-3,0,),cos〈,〉=-.?

∴异面直线PA与BC所成的角为arccos.