Question

已知函数f(x)＝sinx，数列{a_n}满足a_n＝，a_n+1＝f(a_n)．

(1)求证：当x∈(0，)时，不等式x＜f(x)＜x恒成立；

(2)设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：≤S_n≤[()ⁿ－1]．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)①令， 　　当时，∴在上是减函数， 　　所以，∴恒成立；2分 　　②令， 　　设的根为，即． 　　∵在上是减函数， 　　所以时，，为增函数； 　　时，，为减函数；． 　　∵，∴恒成立， 　　即． 　　综上：当时，不等式恒成立；6分 　　(2)由条件知，， 　　由(Ⅰ)得，即， 　　由可知数列为递增数列， 　　所以．8分 　　由得， 　　∴ 　　． 　　综上：)成立， 　　当时，等号成立．12分