Question

在平面直角坐标系中，已知A₁(－3，0)，A₂(3，0)，P(x，y)，M(，0)，若实数λ使向量，λ，满足λ²·()²＝·．

(1)求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

(2)当λ＝时，过点A₁且斜率为1的直线与此时(1)中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x＝－9上找一点C，使ΔA₁BC为正三角形(请说明理由)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)，＝(，0)， 　　∵2()2＝·，∴2(x2－9)＝x2－9＋y2， 　　即P点的轨迹方程(1－2)x2＋y2＝9(1－2)　　3分 　　当1－2＞0，且≠0，即∈(－1，0)时，有＋＝1， 　　∵1－2＞0，∴＞0，∴x2≤9． 　　∴P点的轨迹是点A1，(－3，0)与点A2(3，0) 　　当＝0时，方程为x2＋y2＝9，P的轨迹是点A1(－3，0)与点A2(3，0) 　　当1－2＜0，即入∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，P点的轨迹是双曲线．　　6分 　　当1－2＝0，即＝±1时，方程为y＝0，P点的轨迹是射线． 　　(2)过点A1且斜率为1的直线方程为y＝x＋3， 　　当＝时，曲线方程为＋＝1， 　　由(1)知，其轨迹为点A1(－3，0)与A2(3，0) 　　因直线过A1(－3，0)，但不过A2(3，0)． 　　所以，点B不存在． 　　所以，在直线x＝－9上找不到点C满足条件．　　12分