Question

P是双曲线x²-

y2

3

=1右支上一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，I是三角形PF₁F₂的内心（三条内角平分线交点），若S△PF1F2=2S△IPF2+（1+

1

λ

）S△IF1F2，则实数λ的值为

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式与双曲线的定义，可求得λ=

c

a

，从而可求得答案．

解答：解：依题意，设双曲线x²-

y2

3

=1的焦距为2c，实轴长为2a，则c=2，a=1．
∵I是三角形PF₁F₂的内心，设三角形PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则：S△PF1F2=

1

2

（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r，
S△IPF2=

1

2

|PF₂|r，S△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|r，
∵S△PF1F2=2S△IPF2+（1+

1

λ

）S△IF1F2，
又S△PF1F2=S△IPF2+S△IF1F2+S△IPF1，
∴S△IPF2+

1

λ

S△IF1F2=S△IPF1，
即

1

2

|PF₂|r|+

1

λ

×

1

2

|F₁F₂|r=

1

2

|PF₁|r，
∴|PF₂|+

1

λ

|F₁F₂|=|PF₁|，又P是双曲线x²-

y2

3

=1右支上一点，
∴

1

λ

=

|PF1|-|PF2|

|F1F2|

=

2a

2c

=

a

c

=

1

2

，
∴λ=2．
故答案为：2．

点评：本题考查三角形的面积公式与双曲线的定义及性质（离心率）的应用，求得λ=

c

a

是关键，考查转化与综合运用的能力，属于中档题．