Question

已知MN是⊙C：x²+（y-2）²=1的直径，点P是双曲线x²-y²=1上一点，则

MP

•

PN

的最大值等于

-2

．

Answer 1

分析：由题意可设直线MN所在的直线方程为x=ky-2k，联立直线与圆的方程可求M，N的坐标，然后设P（x，y），从而可表示

MP

，

PN

，利用向量的数量积的坐标表示可求

MP

•

PN

，结合二次函数的性质即可求解

解答：解：由题意可设直线MN所在的直线方程为x=ky-2k
联立

x=ky-2k x2+(y-2)2=1

可得(y-2)2=

1

1+k2

∴M（-k

1 1+k2

，2-

1 1+k2

），N（k

1 1+k2

，2+

1 1+k2

）
设P（x，y）则

MP

=（x+k

1 1+k2

，y-2+

1 1+k2

），

PN

=（k

1 1+k2

-x，2+

1 1+k2

-y）
∴则

MP

•

PN

=-x2+

k2

1+k2

-(2-y)2+

1

1+k2

=-y²-1-（2-y）²+1=-2y²+4y-4
=-2（y-1）²-2≤-2
即最大值为-2
故答案为：-2

点评：本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，向量的数量积的坐标表示的应用，还考查了一定的运算能力