Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）是否有这样的实数值m，使得此椭圆上存在两点关于直线y=2x+m对称？如果存在，求出m的值或取值范围；如果没有，试说明理由．
（2）若直线为y=kx+m，能使得此椭圆上存在两点关于直线y=kx+m对称的m的值的集合为M，要使M⊆（-

1

3

，

1

3

），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设有这样的实数m满足条件，设直线y=2x+m与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有kAB=-

1

2

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

．①把点A、B坐标代入椭圆方程并相减可得3(x12-x22)+4(y1-y2)2=0．②由①②得y1+y2=

3

2

(x1+x2)．设AB的中点为M（x₀，y₀），则有

y0= 3 2 x0 y0=2x0+m

，用m表示出x₀，y₀，根据点M在椭圆内部可得关于m的不等式，解出即可作出判断；
（2）由（1）可求得m的取值集合M，根据M⊆（-

1

3

，

1

3

），可得关于m的不等式解出即可；

解答：解：（1）假设有这样的实数m满足条件，设直线y=2x+m与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有kAB=-

1

2

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

．①
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在椭圆上，∴

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1．
两式相减并化简得3(x12-x22)+4(y12-y22)=0．②
由①②得y1+y2=

3

2

(x1+x2)．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则有

y0= 3 2 x0 y0=2x0+m

，解之得

x0=-2m y0=-3m

．
但M（x₀，y₀）在椭圆内部，∴

(-2m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
∴存在实数m∈(-

1

2

，

1

2

)使得椭圆上存在两点关于直线y=2x+m对称．
（2）由（1）知kAB=-

1

k

，即

y2-y1

x2-x1

=-

1

k

．①，3(x12-x22)+4(y1-y2)2=0．②
由①②得y1+y2=

3k

4

(x1+x2)．可解得

x0=- 4 k m y0=-3m

，
由

(- 4 k m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，即m2＜

k2

3k2+4

．
∴M=(-

k2 3k2+4

，

k2 3k2+4

)，
要使M⊆(-

1

3

，

1

3

)，必有

k2

3k2+4

≤

1

9

，解得-

6

3

≤k≤

6

3

．
k的取值范围为[-

6

3

，

6

3

]．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系问题、对称问题，存在性问题往往先假设存在，然后根据条件去解，有解则存在，否则不存在；解决本题的关键是充分利用对称条件．