Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，g（x）=1-4x-ax²，其中实数a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）在区间（-a，-a+2）内均为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间，注意讨论a的正负．
（2）分别求出函数f（x）与g（x）的单调区间，然后令（-a，-a+2）为二者单调增区间的子集即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-a²，
又3x²-2ax-a²=3（x-a）（x+

a

3

），
令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-

a

3

．…（2分）
①若a＞0，则当x＜-

a

3

或x＞a时，f′（x）＞0，
当-

a

3

＜x＜a时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-

a

3

）和（a，+∞）内是增函数，在（-

a

3

，a）内是减函数．…（5分）
②若a＜0，则当x＜a或x＞-

a

3

时，f′（x）＞0，
当a＜x＜-

a

3

时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，a）和（-

a

3

，+∞）内是增函数，
在（a，-

a

3

）内是减函数．…（8分）
（2）当a＞0时，f（x）在（-∞，-

a

3

）和（a，+∞）内是增函数，g（x）=-a（x+

2

a

）²+1+

4

a

，
故g（x）在（-∞，-

2

a

）内是增函数，
由题意得

a＞0 -a+2≤- a 3 -a+2≤- 2 a

解得a≥3．…（11分）
当a＜0时，f（x）在（-∞，a）和（-

a

3

，+∞）内是增函数，
g（x）在（-

2

a

，+∞）内是增函数．
由题意得

a＜0 -a≥- a 3 -a≥- 2 a

解得a≤-

2

．…（15分）
综上知实数a的取值范围为（-∞，-

2

]∪[3，+∞）．…（16分）

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数小于0时原函数单调递减，当导函数大于0时原函数单调递增是一道综合题．