Question

【题目】如图4，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，过作平面分别交线段于点.

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成的线面角的正切值为，则当点在线段的何处时，直线与平面所成角为？

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) 当在线段靠近的三分点位置时，直线与平面所成的线面角为45°．

【解析】分析：第一问利用梯形的条件，结合线面平行的判定以及性质定理，证得线线垂直；第二问建立相应的空间直角坐标系，设出对应点的坐标，将线面角转化为有关向量所成的角，利用向量所成角的余弦公式求得结果.

详解：（Ⅰ）证明：底面为直角梯形，

，

平面， 平面，

平面，

平面，平面 平面，

．

（Ⅱ）解： 平面，，

为直线与平面所成的线面角，

，，．

以点为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，

(2，0，0)，(2，1，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，

设，则，

∴．

设平面的法向量为，

则

令，则，，

当在线段靠近的三分点位置时，直线与平面所成的线面角为45°．