Question

已知双曲线的左、右顶点分别为,点,是双曲线上不同的两个动点.

（1）求直线与交点的轨迹E的方程

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求的值.

Answer 1

[来  经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E的方程为

（2）设，则由知，.

将代入得，即，

若与椭圆相切,则，即;

同理若与椭圆相切,则.

由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:

[1]直线与都与椭圆相切,即,且,消去得，即，

从而，即;

 [2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;

[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;

[4] 直线过点,而直线过点,此时

综上所述,h的值为

（注：本题第(2)问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点(严格地说,切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已)，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说h只能取这一个值. 如果本题将第(2)问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了.）