Question

已知二次曲线C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）对于点P（-1，0），是否存在曲线C_k交直线y=x+1于A、B两点，使得

AB

=-2

BP

？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）已知C_k与直线y=x+1有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）当且仅当

9-k＞0 4-k＞0

时，方程表示椭圆；当且仅当（9-k）（4-k）＜0，方程表示双曲线．
（2）联立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

，得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有两个实根，△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9．由此能够导出k不存在．
（3）因为c_k为双曲线，所以4＜k＜9，由△≥0，可得6≤k＜9．由此能求出实轴最长的双曲线方程．

解答：解：（1）当且仅当

9-k＞0 4-k＞0

即 k＜4时，方程表示椭圆；--------------------------（2分）
当且仅当（9-k）（4-k）＜0，即4＜k＜9时，方程表示双曲线．---------------------（4分）
（2）联立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有两个实根-----------------------------（6分）
△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9----------------（8分）
设：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AB

=-2

BP

，
得到

x1+x2=-2 y1+y2=0

----------------（10分）
⇒

-2(9-k)

13-2k

=-2，
得到 k=4，所以k不存在-----------------------------------（12分）
（3）因为c_k为双曲线，所以4＜k＜9由△≥0，可得6≤k＜9--------------------------（15分）
双曲线实轴2a=9-k≤3，所以最长时k=6，此时双曲线方程为

x2

3

-

y2

2

=1---（18分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．