已知数列{an}的前n项和为Sn=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$.各项均为正数的等差数列{bn}的前n项和为Sn′.S3′=15.且a2+b2是a1+b1.a3+b3的等比中项．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式,(2)设cn=$\frac{{b} {n}}{{a} {n}}$.Tn=c1+c2+-+cn.n∈N*.若Tn＜M对任意的n∈N*恒成立.求M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，各项均为正数的等差数列{b_n}的前n项和为S_n′，S₃′=15，且a₂+b₂是a₁+b₁，a₃+b₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，T_n=c₁+c₂+…+c_n，n∈N^*，若T_n＜M（M∈Z）对任意的n∈N^*恒成立，求M的最小值．

分析（1）根据题意和数列a_n与S_n关系式求出a_n，设{b_n}的公差为d，则d＞0，根据等差数列的通项公式和题意列出方程组，求出公差和b₁，代入b_n化简即可；
（2）由（1）求出c_n，根据特点用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出T_n，化简后求出T_n的范围，即可求出M的最小值．

解答解：（1）设各项均为正数的等差数列{b_n}的公差为d，则d＞0，
∵数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=$\frac{{3}^{1}-1}{2}$=1，
当n≥2时，a_n=S_n-_n-1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$=3^n-1，
经验证n=1也满足上式，∴a_n=3^n-1，
∵，S₃′=15，且a₂+b₂是a₁+b₁，a₃+b₃的等比中项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{b}_{1}+3d=15}\\{{（3+{b}_{1}+d）}^{2}=（1+{b}_{1}）（9+{b}_{1}+2d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=15}\\{d=-10}\end{array}\right.$（舍去），
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）由（1）知，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=$\frac{3}{{3}^{0}}$+$\frac{5}{{3}^{1}}$+$\frac{7}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{3}{{3}^{1}}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，②
①-②得，$\frac{2}{3}$T_n=3+2（$\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=3+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$=$4-\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$6-\frac{2n+4}{{3}^{n-1}}$＜6，
∵T_n＜M（M∈Z）对任意的n∈N^*恒成立，∴M的最小值是6．