题目内容
（本小题满分14分）
已知函数
.
(1)求证：函数
在
上是单调递增函数；
(2)当
时，求函数在
上的最值；
(3)函数在
上恒有
成立，求
的取值范围.
(1) 函数
在
上是单调递增函数. (2) 的最小值为
，此时
；无最大值. (3) 
的取值范围是
.
【解析】
试题分析：(1)证明函数在上是单调递增函数本质就是证明
在上恒成立.
（2）当
时,令
，然后得到极值点，进而求出极值，再与
值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.
(3) 函数在
上恒有
成立问题应转化为
,
然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值，最值即可求出其最小值，问题得解.
(1)（法一：定义法）
任取
且
,则
.
········1分
∵
，
∴
.
·······3分
∴ 函数在上是单调递增函数.
········4分
（法二：导数法）
当
，
∴ 函数在上是单调递增函数.
········4分
(2) 当时，
；
由（1）知函数在上是单调递增函数.
·······5分
∴
，即
·······7分
∴ 的最小值为，此时；无最大值.
·······8分
(3) 依题意， 
，即
在上恒成立.
∵函数
在上单调递减，∴
······11分
∴ 
，
又
.
∴
故的取值范围是.
·······14分
考点：导数在研究函数单调性，极值，最值当中的应用.
点评：（1）连续可导函数在某个区间I上单调递增（减）等价于
在区间I上恒成立.
（2）在求某个区间上的最值时，应先求出极值，然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.
（3）不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.
黄冈创优卷系列答案
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）