题目内容
已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）求y=f（x）在R上的单调区间．
分析：首先分析函数表达式f（x）=2sinx（sinx+cosx），不是三角函数的标准型，需要化简为标准型，再根据周期公式直接求解．然后根据sinx函数的单调区间列出关系式求解f（x）的单调区间即可．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+
(sin2xcos
-cos2xsin
)=1+
sin(2x-
)
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+
．
（Ⅱ）由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z)
得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z)
由2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z)
得kπ+
≤x≤kπ+
(k∈Z)
所以，单调增区间[kπ-
，kπ+
](k∈Z)；单调减区间[kπ+
，kπ+
](k∈Z)
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+
| 2 |
（Ⅱ）由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
得kπ-
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
得kπ+
| 3π |
| 8 |
| 7π |
| 8 |
所以，单调增区间[kπ-
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 7π |
| 8 |
点评：此题主要考查三角函数周期性最值和单调区间的求法，此类题目求解时候注意要先把三角函数表达式化为标准形式再求解．
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