Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．
①求证：f（x）的图象与x轴有两个交点；
②设函数图象与x轴的两个交点分别为A、B，求线段AB的取值范围．
（Ⅱ）若存在x₁、x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试说明方程f（x）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，必有一根在区间（x₁，x₂）内．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①欲证证明f（x）的图象与x轴有两个交点，只须由△＞0得图象与x轴有两个交点即可；
②利用韦达定理的推论，求出AB，可得绪论；
（Ⅱ）根据函数的凸凹性可得结论．

解答 证明：（Ⅰ）①由f（1）=0得a+b+c=0，即b=-a-c
∵a＞b＞c，
∴△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²＞0
∴f（x）的图象与x轴有两个交点；
解：②由①得：a＞0，
∴|AB|=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{a-c}{a}$∈（1，3）．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）中①得a＞0，
故f（x）为凹函数，
∵x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），
故y=f（x），x∈（x₁，x₂）与y=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$有且只有一个交点，
故方程f（x）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，必有一根在区间（x₁，x₂）内．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．