Question

1．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：面A₁C₁D∥面ACB₁；
（2）求证：BD₁⊥平面ACB₁；
（3）求：B₁D₁与平面ACB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先推导出A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，由此能证明面A₁C₁D∥面ACB₁．
（2）先推导出AC⊥BD，BB₁⊥AC，从而AC⊥平面BDB₁，进而BD₁⊥AC，同理，BD₁⊥AB₁，由此能证明BD₁⊥平面ACB₁．
（3）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B₁D₁与平面ACB₁所成角的余弦值．

解答 证明：（1）在长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，
A₁C₁∩A₁B=A₁，AC∩B₁C=C，
∴面A₁C₁D∥面ACB₁．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥AC，
又BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面BDB₁，
∵BD₁?平面BDB₁，∴BD₁⊥AC，
同理，BD₁AB₁，∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面ACB₁．
解：（3）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B₁（1，1，0），D₁（0，0，0），A（1，0，1），C（0，1，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，-1），
设平面ACB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设B₁D₁与平面ACB₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴B₁D₁与平面ACB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面平行、线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．