题目内容

已知函数f（x）=x+
1x
．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．
分析：（1）直接由奇偶性的定义看f（-x）和f（x）的关系即可．
（2）可由定义直接判断和证明．先在（0，1]任取两个自变量，做差法比较它们对应函数值的大小，从而判断函数的单调性．也可由导数求解，判断f′（x）的符号即可．
解答：解：（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=-x+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x)
∴函数f（x）=x+
1
x
为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x1＜x2≤1，则0＜x1x2＜1，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
x1
-
1
x2
)
=(x1-x2)+(
x2-x1
x1x2
)=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
＞0
即f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数
点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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