Question

10．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）设此等比数列的公比为q，求q³的值；
（2）问：数列中是否存在不同的三项a_m，a_n，a_p成等差数列？若存在，求出m，n，p满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质、等比数列的通项公式即可得出；
（2）存在不同的三项a₁，a₇，a₄成等差数列，例如2a₇=a₁+a₄．

解答 解：（1）∵S₃，S₉，S₆成等差数列，∴2S₉=S₃+S₆，
∴（S₉-S₆）+（S₉-S₃）=0，
即（a₇+a₈+a₉）+（a₇+a₈+a₉）+（a₄+a₅+a₆）=0，
∴2q³（a₄+a₅+a₆）+（a₄+a₅+a₆）=0，
∵${a_4}+{a_5}+{a_6}={a_4}（1+q+{q^2}）≠0$，
∴${q^3}=-\frac{1}{2}$；
（2）存在不同的三项a₁，a₇，a₄成等差数列．
∵${a_7}={a_1}{q^6}=\frac{1}{4}{a_1}$，${a_4}={a_1}{q^3}=-\frac{1}{2}{a_1}$，
∴2a₇=a₁+a₄；
一般地，当n=m+6，且p=m+3时，有a_m，a_n，a_p成等差数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．