Question

己知函数f(x)=x(1－x²)，x∈R.

(1)   当x>0时，求f(x)的最大值；

(2)   当x>0时，指出f(x)的单调性，并用定义证明；

(3)   试作出函数f(x)(x∈R)的简图.

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵x>0,欲求f(x)最大值，必有1－x2>0, y2=x2(1－x2)2=·2x2(1－x2) ≤·[]3= ， ∴y≤=. 当且仅当2x2=1－x2即x=时，取“=”，即f(x)|mAx=f()=. (2)由（1）知，当x∈（0,）时，f(x)单调递增，x∈时，f(x)单调递减.设x2>x1>0,则  f(x2)－f(x1)=－x23+x2－（－x13+x1）  =( x2－ x1)－( x2－ x1)(x22+x1x2+x12)  =（x2－ x1）[1－（x22+x1x2+x12）]. 当0< x1 <x2≤时，x2－ x1>0, 1－( x22+x1x2+x12 )>0. ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在）上递增.当≤x1<x2时，x2－x1>0,1－( x22+x1x2+x12)<0. ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在上递减. (3)注：图象过点（－1,0），（0,0），（1,0），关于原点对称. 评述：第（1）题也可用导数解决.∵f＇(x)=1－3x2,令f＇(x)=0,∴x=±,又x>0,∴x=. 通过检验单调性知，当x=时，f(x)取得最大值，其最大值为，以下解法同上.