题目内容
（本小题满分10分）已知数列
满足：
，
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）设
，求数列
的前
项的和
．
解：（1）∵
∴
即
， ………………………………………………2分
又∵
，∴
，∴
…………………………………3分
∴
…………………………………………………………4分
∴数列{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列 ………………………5分
（2）由（1）得 an＋2＝3×3n-1＝3n
∴an＝3n－2
bn＝n·an＝n·3n－2n …………………………………………………………6分
∴Tn＝(1×31－2×1)＋(2×32－2×2)＋…＋(n·3n－2n)
＝1×31＋2×32＋…＋n·3n－2(1＋2＋…＋n)
＝1×31＋2×32＋…＋n·3n－2×
＝1×31＋2×32＋…＋n·3n－n2－n ……………………………………7分
记Sn＝1×31＋2×32＋…＋n·3n
则3Sn＝1×32＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1
∴Sn－3Sn＝(31＋32＋…＋3n)－n·3n＋1
＝
－n·3n＋1
＝
∴Sn＝
…………………………………………………… 9分
∴Tn＝
－n2－n. ………………………………………………10分
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