Question

已知△ABC的面积为1，且满足0＜

AB

•

AC

≤2，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（ I）求θ的取值范围；
（ II）求函数f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-cos(2θ+

π

6

)的最大值及取得最大值时的θ值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且设

AB

和

AC

的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式

1

2

bcsinθ=1，表示出bc，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈（0，π），利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；
（Ⅱ）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值．

解答：解：（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，
∵△ABC的面积为1，且满足0＜

AB

•

AC

≤2，设

AB

和

AC

的夹角为θ，
∴

1

2

bcsinθ=1，即bc=

2

sinθ

，0＜bccosθ≤2，
∴0＜

2

tanθ

≤2，即tanθ≥1，
∵θ∈（0，π），
∴θ∈[

π

4

，

π

2

）；
（Ⅱ）f（θ）=[1-cos（

π

2

+2θ）]-[

3

2

cos2θ-

1

2

sin2θ]
=1+sin2θ-

3

2

cos2θ+

1

2

sin2θ=

3

sin（2θ-

π

6

）+1，
∵θ∈[

π

4

，

π

2

），2θ-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

）
∴当θ=

π

3

时，f（θ）_max=

3

+1．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．