Question

【题目】已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆:于、两点，在点处切线相交于．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明：为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）由题意按照直线斜率是否为0分类，当直线斜率不为0时，设直线方程为，，联立方程求出点横坐标，化简即可得解；

（2）设点、，设直线的方程为，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得，同理可得，即可得解.

（1）由题意点，

当直线斜率为0时，在点处的切线不相交，不合题意；

当直线斜率不为0时，设直线方程为，，

易得在点处切线为，在点处切线为，

由，解得，

又，

所以，

所以点的轨迹方程为；

（2）设点、，设直线的方程为．

则，消去得，，

由韦达定理得，．

所以

；

将换为可得，

所以．