Question

【题目】已知函数，是f(x)的导函数．

（1）证明：当x＞0时，f(x)＞0；

（2）证明：在()上有且只有3个零点．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证得不等式成立；

（2）转化为证明在上有且只有3个零点，因为0是的一个零点，再根据为奇函数，所以只需证明在上有且只有一个零点，分两种情况证明：①当时，利用导数证明，此时无零点，②当时，利用导数得到函数为单调函数，再根据零点存在性定理得有且只有一个零点.

（1）证明：

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，所以在上单调递增，

又，

所以当时，.

（2）证明：，

令，得，即

令，则，

是奇函数，且，即0是的一个零点，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

令，则在上单调递增，在上单调递减.

由（1）知：当时，，即，

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，

所以时，恒成立，即时，恒成立，

所以当时，，

所以当时，恒成立，

当时，，

所以在上为增函数，且，，

所以在上有且只有一个零点，设为，所以，

因为是奇函数，，

所以在上的零点为，

所以在上的零点为，，，

所以在上有且只有3个零点.

所以在上有且只有3个零点.