Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点．

（1）如果，点的横坐标为，求的值；

（2）若角的终边与单位圆交于C点，设角、、的正弦线分别为，求证：线段能构成一个三角形；

（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由同角间基本关系式,由可得，据三角函数定义可得，，由两角和的余弦公式将展开代入可得其值；（2）由题意知，，.再利用正余弦值证明两边之和大于第三边和二边之差小于第三边,可判断三条线段能构成一个三角形；（3） 设的边长分别为,由余弦定理可得,进一步得,再由正弦定理,可得值.

试题解析:

（1）已知是锐角，根据三角函数的定义，得

又，且是锐角，所以．

所以．

（2）证明：依题意得，，，

因为，所以，，于是有

，①

又∵，

，②

同理，，③

由①，②，③可得，线段能构成一个三角形.

（3）第（2）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.

不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：.

因为，所以，所以，

设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，∴，

所以的外接圆的面积为.