题目内容

【题目】已知椭圆： 的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的直线与交于点，与抛物线： 交于、两点，当直线过时的周长为．

（Ⅰ）求的值和的方程；

（Ⅱ）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由的周长为求得a,再根据椭圆经过求得m,（2）设直线方程 ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标

试题解析：（1）由的周长为得，即，因为椭圆经过，所以

（2）设A，B坐标 ，则以线段为直径的圆方程为，

再设直线方程 ，联立直线与抛物线方程，得

代入得：

因此

，即以线段为直径的圆经过上一定点

练习册系列答案
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（Ⅰ）求的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线， 分别交轨迹于， 两点和， 两点，且．证明：过和中点的直线过定点．

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