Question

7．已知集合A={x|$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，A∩B=（$\frac{1}{2}$，3]，试求a，b的取值范围．

Answer 1

分析 由A∩B=（$\frac{1}{2}$，3]得方程x²+ax+b=0的一根为x₁=3，另一根x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]，这是解决本题的关键．

解答 解：对于集合A，不等式$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0等价为：（2x-1）（x+1）（x+2）＞0，
x∈（-2，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
又因为，A∩B=（$\frac{1}{2}$，3]，
所以，方程x²+ax+b=0的一根为x₁=3，另一根x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
由根与系数关系，x₁+x₂=-a=3+x₂，
所以，x₂=-a-3∈[-1，$\frac{1}{2}$]，解得a∈[-$\frac{7}{2}$，-2]，
又因为x₁=3是方程的根，所以9+3a+b=0，
所以，b=-3a-9∈[-3，$\frac{3}{2}$]，
综合得，a，b的取值范围分别为[-$\frac{7}{2}$，-2]，[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了集合及其运算，一元高次不等式的解法，以及一元二次方程根与系数关系的应用，属于中档题．